Pelajari himpunan

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.

Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.
Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.
Jadi A = {2,4,6,8,10}
2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3. C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J
Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli
Jadi C = {Januari, Juni, Juli}
B. Anggota Himpunan
Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan.
Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi .dan jika bukan anggota himpunan
dinyatakan dengan notasi ..
Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).


Contoh:

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:

A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}
maka 2 .A, 3 .A, 5 .A, 7 .A sedangkan 1 .A, 4 .A, 6 .A, 8 .A, 9 .A
Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4



C. Menyatakan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :

1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya
2. Memberikan notasi pembentuk himpunan
3. Mendaftarkan anggota-anggotanya
No Dengan Kata-kata Notasi Pembentuk
Himpunan
Mendaftarkan
Anggotanya
1 A adalah himpunan
Bilangan genap di bawah 10
A={x|x < 10
x .bilangan genap}
A= {2,4,6,8}
2 B adalah himpunan
kelipatan 5 di bawah 20
B={x|x < 20
x .kelipatan 5}
B={5,10,15}

D. Macam-macam Himpunan
1. Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau Ø
contoh:
P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.
Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }
2. Himpunan terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas
contoh:
P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}
3. Himpunan tak terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.
contoh:
Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}
4. Himpunan semesta
Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.
contoh:
R={1,2,3,4,5}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb.

5. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A
menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A .B.
contoh:
A={2,4}
B={1,2,3,4,5}
maka A .B
Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu sebanyak 2n(A).

contoh:
Diketahui himpunan A={2,3,5}•
n(A) = 3
Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah :
2n(A)= 23 = 8

Himpunan bagian dari A adalah:
{ }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

6. Himpunan Ekuivalen
Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan
tersebut sama•
n(A) = n(B).
contoh:
A={1,2,3} •
n(A) = 3
B={4,5,6} •
n(B) = 3
n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B


E. Operasi pada Himpunan
1. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.
Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
A nB = {x| x .A dan x .B}

Daerah yang diarsir merupakan daerah A nB


Contoh:
Diketahui:
A={bilangan ganjil kurang dari 10}
B={bilangan prima kurang dari 10}
carilah A nB dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:
A={1,3,5,7,9}
B={2,3,5,7}
A nB = { 3,5,7 }

2. Gabungan Himpunan
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.
Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
A .B = {x| x .A atau x .B}
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A .B
contoh:
Diketahui:
A={faktor prima dari 30}
B={Nilai genap dibawah 10}



3. Selisih Himpunan
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi
anggota B.
Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B
contoh:
Diketahui:
A={1,2,3,4,5}
B={4,5,6,7,8}
Tentukan A – B!

Jawab:
A-B = {1,2,3,4,5} -{4,5,6,7,8} = {1,2,3}


4. Jumlah Himpunan
Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah
gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B.


contoh:
Diketahui:
A={a,b,c,d,e,f}
B={d,e,f,g,h,i}
Tentukan A + B!
Jawab:
A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}

5. Komplemen
Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota
himpunan S yang bukan anggota himpunan A.
Komplemen A dinotasikan dengan atau AC

contoh:
S={1,2,3,4,5,6}
A={4,5,6}
tentukan AC !
Jawab:
AC = {1,2,3}


F. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
1. Komutatif.
A nB = B nA
A .B=B .A
2. Asosiatif
(A nB) nC = A n(B nC)
(A .B) .C = A .
(B .
C)
3. Distributif
A n(B .C) = (A nB) .(A nC)
A .(B nC) = (A .B) n(A .C)
4. Dalil De Morgan
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan
anggota A dan dilambangkan dengan AC.
(A nB)C = AC .BC
(A .B)C = AC nBC